《结构主义》

第二章 数学结构和逻辑结构

作者:皮亚杰

5.群的概念

如果不从检验数学结构开始,就不可能对结构主义进行批判性的陈述。其所以如此,不仅因为有逻辑上的理由,而且还同思想史本身的演变有关。固然,产生结构主义的初期,在语言学和心理学里起过作用的那种种创造性影响,并不具有数学的性质(索绪尔学说中关于共时性平衡的理论是从经济学上得到启发的;“格式塔”学派的完形论学说则是从物理学上得到启发的),可是当今社会和文化人类学大师列维-斯特劳斯(levi-strauss),却是直接从普通代数学里引出他的结构模式来的。

另方面,如果我们接受在第一章里所提出的结构主义定义,那末最早被认识和研究了的结构,是由伽洛瓦(galois)所发现的“群”的结构,这似乎是无可置疑的。并且这个“群”的结构在十九世纪逐步征服了数学这门科学。一个群,就是由一种组合运算(例如加法)汇合而成的一个若干成分(例如正负整数)的集合,这个组合运算应用在这个集合的某些成分上去,又会得出属于这个集合的一个成分来。还存在一个中性成分(在我们选用的这个例子里,是零),这个中性成分和另外一个成分结合,并不使这另一个成分发生改变(这儿是n+0=0+n=n;尤其是这里还存在一个逆向运算(在我们这个特定情况里,是减法),正向运算和逆向运算组合在一起,就得出那个中性成分来(+n-n=-n+n=0;最后,这些组合都是符合结合律性质的组合(这儿是[n+m]+l=n+[m+l])。

群结构作为代数基础,已经显示出具有非常普遍和非常丰富的内容。几乎在所有的数学领域里,并且在逻辑学里,我们都又发现了群结构。在物理学里,群结构具有基本的重要性;在生物学里,也可能会有一天情况相同。所以,力求明了这种成功的由来是很重要的了。因为群可能被看做是各种“结构”的原型,而且,在某些人们所提出的东西必须加以论证的领域里,当它具备了一些精确的形式时,群能提供最坚实的理由,使人们对其结构主义的未来,抱有希望。

这些理由中的第一条,是数理逻辑的抽象形式;群就是从中引出来的;这抽象形式,就解释了群的使用的普遍性。当有一个性质从客体本身经过抽象被发现出来以后,这个性质当然就向我们提供了这些客体的情况。但是,所抽象出来的性质越是具有普遍性,这个性质就越贫乏而有很少用处的危险,因为它对于一切都能适用。体现数理逻辑思维特点的“反映抽象”(abstraction reflechissante)的性质则不是这样,恰恰相反,它不是从容体里抽象出来的,而是从人们对于客体所加上的动作、并且主要地是从这些动作的最普遍的协调作用(coordination)之中抽象出来的;例如从汇集(reunir)、赋序(ordonner)和找出对应关系(mettre en correspondance)等等过程里抽象出来。然而人们在群中看到的,正好就是这些有普遍性的协调作用,首先就是:a)回到出发点的可能性(群的逆向运算);b)经由不同途径而达到同一个目的、但到达点不因为所经过的途径不同而改变的这种可能性(群的结合律性质)。至于组合(如汇集等)的本性,可以不受顺序的制约(可互相置换的群),也可以建立在必然的顺序上。

正因为这样,群的结构就成了一个确实有严密逻辑联系的工具,这个工具因内部的调整或自身调节作用而具有自己的逻辑。事实上,这个工具通过其自身的活动,使理性主义的三个基本原理发挥了作用:在转换关系的可逆性中体现了不矛盾原理;中性成分的恒定性保证了同一性原理;最后一个原理人们较少强调,但它同样是一个基本原理,就是到达点不受所经途径不同的影响而保持不变的原理。例如,在空间里位移的一个整体,就是这样(因为,两个连续的位移仍旧是一个位移;因为一个位移能够被逆向的位移或“返回”所抵消,等等)。然而位移群的结合律性质相当于“迂回”的行为,在这一点上,对于空间的一致性来说是基本的。因为,如果到达点因所经途径不同而时常在改变的话,那就会没有空间可言,而只有可与赫拉克利特所谈过的那条江相比拟的永恒流水了。

其次,群是转换作用的基本工具,而且还是合理的转换作用的基本工具。这种转换作用不是一下子同时改变一切,而是每一次转换都与一个不变量联系起来。这样,一个固体在习常空间里位移,就让它的大小保持不变;一个整体被分成为许多部分,就让总和保持不变,等等。只要有了群结构,就完全可以揭露梅耶森(e.meyerson)用来建立他的科学认识论的那个反命题的人为性质了;按照他的反命题,一切变化都是非理性的,只有同一性才是理性的特点。

群作为转换作用与守恒作用不可分割的结合,是构造论的无与伦比的工具。这不仅由于群是一个转换的体系,而且还因为,并且主要因为,通过一个群分化成它的子群,以及有可能通过这些子群之一过渡到另一些子群,这些转换在某种程度上是可以加以配方的。就是因为这样,除了被位移图形的大小之外(因此是距离),位移群让它的角、平行线、直线等保持不变。于是人们能使大小改变而保持其余一切不变,就得到一个较普遍的群,而原位移群成了这个更普遍的群中的一个子群:这就是相似群,可以在不改变形状的情况下放大图象。接着,人们可以改变图象的各个角,但是保持它原来的平行线和直线等,这样就得到了一个更普遍的群,而上述相似群就成了它的一个子群,这就是“仿射”几何群,例如,把一个菱形改变成另一个菱形,这个群就要发生作用。继续把平行线改变而保留直线,于是就得到一个“射影”群(透视等),先前那些图象所构成的群就成了它嵌套的子群了。最后,连这些直线也不保留,而在某种程度上把某些图象看作是有弹性的,唯一被保留下来的是图象上各个点之间一一对应的、或对应连续的对应关系,于是这就产生了最普遍的群,即拓扑学所特有的“同型拓扑”(homeomorphies)群。这样,各种不同的几何学原先看来是静态的、纯粹图形化的、分散在不相联系的章节里描写的模型,现在使用群结构之后,就正好形成了一个巨大的构造,其转换作用,因为有了子群之间的嵌套接合关系(emboltement),就可以使得从一个子结构向另一个子结构过渡成为可能(且不谈普通测量学;我们可以依靠拓扑学,从普通测量学中引出非欧几何或欧氏几何的特殊测量学,从而再回到位移群上来)。克莱因(f.klein)在《埃尔兰根纲领》(programme d’erlangen)这部著名著作里所陈述的,就是这个从图形几何变成一整个转换体系的根本改变。这是由于群结构的运用而为我们取得了的可以称之为是结构主义的确实胜利的第一个实例。

6.母结构

但这还只是一个部分的胜利。在数学界可以称之为结构主义学派的,也就是布尔巴基学派(les bourbaki)的特征的乃是企图使全部数学服从于结构的观念。

传统的数学,是由各不相关的章节如代数、数论、数学分析、几何、概率论等等所形成的一个整体,其中每一部分研究一个特定的领域,各自研究若干被内在性质所决定的“存在”或对象。群结构可以应用于极不相同的成分,而不是仅仅适用于代数的运算。这个事实促使布尔巴基学派按照类似的抽象原理来展开对种种结构的研究。如果我们能把诸如数、位移、射影等(而我们已经看到,这里既有运算的结果,也有加在运算本身上的运算)这些已被抽象化了的对象称为“成分”,群的特性却不是由这些成分的本性来确定的。群以高一级的新的抽象超越这些成分;这新的抽象就是要抽绎出我们可以使任何一种成分都能受其支配的某些共同的转换规则。同样,布尔巴塞学派的方法,就是用组成同型性(isomorphismes)的办法,去抽绎出最普遍的结构,使各种不同门类的数学成分,不问这些成分来自哪个领域,完全根本不管它们各自的特殊性质,都能服从于这些最普遍的结构。

这样一件工作的出发点,是某种归纳法,因为我们所研究的各种基本结构的数目和形式都并不是先验地推演出来的。这种归纳法,导致发现了三种“母结构”,即所有其它结构的来源,而它们之间被认为是再不能互相合并了(三这个数目,是经逆退式分析得到的结果,不是某种先验构造的结果)。首先是各种“代数结构”,代数结构的原型就是群,但是还有群的派生物(“环“[anneaux英文为rings]、“体”[corps英文为field],等等)。代数结构都是以存在着正运算和逆运算为其特点,即有从否定意义上体现的可逆性(如t是正运算,t-1是它的逆运算,则t-1·t=0)。其次,我们可以看到有研究关系的各种“次序结构”,它的原型是“网”(reseau或treillis,英文为lattice或network),也就是一种普遍性可以和群相比拟的结构,这种结构最近才有人进行研究(戴德金德(dedekind〕、比尔霍夫(birkhoff〕等人)。“网”用“后于”(succede)和“先于”(precede)的关系把它的各成分联系起来;因为每两个成分中总包含有一个最小的“上界”(后来的诸成分中最近的那个成分,或“上限”[supremum])和一个最大的“下界”(前面成分中最高的那个成分,或“下限[infimum])。网和群一样,适用于相当大量的情况(例如,适用于一个集合中的“部分集合”或“单化复合体”[simplexe],或适用于一个群和它的那些子群,等等)。网的可逆性普遍形式不再是逆向性关系了,而是相互性关系:如用加号(+)替换乘号(·)、用“先于”关系替换“后于”关系,就使“a·b先于a+b”这样一个命题转换成了“a+b后于a·b”这样一个命题了。最后,第三类母结构是拓扑学性质的,是建立在邻接性、连续性和界限概念上的结构。

这些基本结构被区分出来并被阐明了特性之后,其它结构就通过两个过程接着产生:或者通过组合的方式,把一些成分的整体,同时放到两个结构中(例子是代数拓扑学);或者通过分化的方式,也就是说,硬性规定某些确定子结构的限制性公设(例子是,用引进直线守恒,接着是平行线守恒,接着是角的守恒,……等的办法,以连续一个接一个嵌套的子群的形式,从同型拓扑群中派生出来的各种几何群。参见第五节)。人们同样还可以从强结构到“比较弱的结构”进行分化,例如,一个结合律性质的“半群”,既没有中性成分,也没有逆成分(自然数>0)。

为了把这些不同方面互相联系起来,为了帮助说明结构的普遍意义可能是什么情况,值得先思考一下:“数学建筑学”(布尔巴基学派用语)的基础,是否具有“自然的”性质,或者只能建立在公设化的形式基础上?这里我们已经可以在“自然数”指正整数的意义上使用“自然(的)”这个术语了;正整数在数学上使用它们之前先已经构成,是用从日常活动里所抽出来的运算构成的,这些运算,如早在原始社会里一对一的物物交换中所使用的、或是儿童玩耍时使用的一一对应的关系,在坎托尔(cantor)用来建立第一个超穷基数以前,已经使用了几千年了。

人们可以惊奇地看到,儿童在发展过程中最初使用的一些运算,也就是从他加在客体上的动作的普遍协调中直接取得的运算,正好可以分为三大范畴,划分的标准,根据:运算的可逆性来自逆向性,象代数结构一样(在这个儿童的特殊情况下,是分类结构和数的结构);或运算的可逆性来自互反性,象次序结构一样(在这个特殊情况下,是序列、序列对应关系、等等);或者是运算组合系

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