《科学发现的逻辑》

第七章 简单性

作者:卡尔·波普尔

关于所谓“简单性问题”的重要性几乎没有一致意见。weyl在不久前说:“简单性问题对于自然科学的认识论是最重要的”。然而,近来对于这个问题的兴趣低落了;也许是因为似乎很少有机会来解释这问题,特别是在weyl进行透彻的分析之后。

直到最近,简单性观念一直在无批判地使用,仿佛简单性是什么,为什么它应该是有价值的,是很明显的。不少科学哲学家在他们的理论里给予简单性概念一个关键性的重要地位,甚至没有注意到它引起的困难,例如,mach,kirchhoff,avenarius的追随者试图用“最简单的描述”这一观念来代替因果解释的观念。没有形容词“最简单的”或者类似的词,这个学说就什么也没有说。当应该解释为什么我们认为用理论对世界进行的描述,优于用单称陈述对世界进行的描述时,就似乎预先假定,理论比单称陈述更简单。然而很少有人曾经尝试解释过,为什么理论应该是更简单的,或者更确切地说,简单性是什么意思。

而且,如果我们假定,使用理论是由于简单性,那么显然,我们应该使用最简单的理论。poincare(他认为理论的选择是一个约定的问题)就是这样来表述他的理论选择原理的:他选择可能的约定中最简单的。但是,哪一个是最简单的?

41.排除美学的和实用的简单性概念

“简单性”这个词用于很多不同的意义。例如schr odinger理论在方法论意义上具有很大的简单性,但是在另外一种意义上,完全可以说它是“复杂的”。我们可以说,一个问题的解决不是简单的而是困难的,或者说,一个描述或一个说明不是简单的而是难以理解的。

首先,我要从我们的讨论中排除简单性这一术语应用于任何像描述或说明这类东西。有时,我们说到同一个数学证明的两种说明,其中一个比另一个更简单或更优美。从知识理论的观点看来,这种区别意义很小;它不在逻辑的范围之内,只是表示一种美学性质或实用性质的选择。当人们说,一项工作比另一项工作可以“用更简单的办法完成”时,意思是,它可更容易地完成,或者,为了完成它,需要较少的训练或较少的知识,这情况是类似的。在所有这些情况下,很容易排除“简单”这个词;这一词的使用是逻辑外的。

42.简单性的方法论问题

在我们排除了美学的和实用的简单性观念以后,如果有什么东西余留下,那是什么呢?是否有对于逻辑学家是重要的简单性概念?是否可能按照它们的简单度来区别在逻辑上不等同的理论?

对这个问题的回答似乎是很可疑的,因为大部分想定义这个概念的尝试得到很小的成功。例如,schlick给了一个否定的回答。他说:“简单性是……一个概念,它表示的选择性质上,部分地是实用的,部分地是美学的”。值得注意的是,他给出了这个回答,是在他写到这里使我们感兴趣的概念,我称之为简单性的认识论概念的时候;因为他继续说道:“即使我们不能解释简单性在这里的真正意思是什么,我们仍然必须认识到这样的事实:任何科学家成功地用一个非常简单的公式(例如:一个线性的,二次的,或指数的函数)来描述一系列观察,他就立即确信,他已发现了一条定律。”

schlick讨论了用简单性概念来定义似定律的规律性概念,特别是“定律”和“机遇”区别的可能性。他最后排除了这个可能性,说道:“简单性显然是一个完全相对和模糊的概念;用它不能得到因果性的严格定义,定律和机遇也不能精确地区别开”。从这一段话中真正期待简单性概念完成什么就很清楚了:它要提供一种事件的似律性或规律性程度的量度,feigl说出了同样的看法,他说到“用简单性概念来定义规律性或似律性的程度”。

简单性的认识论观念在归纳逻辑理论里起着特殊的作用,比如联系到“最简单曲线”问题。归纳逻辑的信仰者假定,我们通过概括特殊的观察到达自然律。如果我们设想在一系列观察中的各种结果,作为在一个坐标系统中标绘的点。那么定律的图形表示就将是一条通过所有这些点的曲线。但是,通过有限数目的点,我们总能画出形式极为多样的数目无限的曲线。因此,由于定律不是单单由观察决定的,归纳逻辑面临在所有这些可能的曲线中决定选择哪一条曲线的问题。

通常的回答是:“选择最简单的曲线”。例如,wittgenstein说:“归纳过程在于发现可以使之和我们的经验相协调的最简单的定律”。在选择最简单的定律时,通常不言而喻地假定,比方说,线性函数比二次函数简单,圆比椭圆简单,等等。但是,没有给出任何理由,或说明选择这个特殊的简单性等级,而不是任何其他的等级,或说明相信“简单的”定律优于比较不简单的定律——除了美学的实用的理由以外schlick和feigl提到natkin的一篇未出版的论文,按照schlick的叙述,natkin建议称一条曲线比另一条更简单,如果它的平均曲率更小的话,或者按照feigl的叙述,如果它偏离一条直线更小的话(这两种叙述是不等价的)。这个定义似乎和我们的直觉符合得相当好;但是,它没有抓住关键之处,例如,它使得双曲线的一部分(渐近线部分)比圆简单得多,等等。实在说,我不认为,问题能为这样的“技巧”(schlick这样称呼它们)所解决。而且,为什么我们应该给予简单性(如果用这个特殊方法来定义它)以优先权,这仍然是个谜。

weyl讨论了并否定了一个非常有趣的把简单性置于概率基础之上的尝试。“例如,假定同一函数y=f(x)的20对坐标值(x,y),当标绘在方格图解纸上时,落在一条直线上(在预期的精确度内)。因此我们推测,我们在这里面对一条严格的自然律,y线性地依赖于x。我们所以这样推测是由于直线的简单性,或者因为,如果该定律是一条不同的定律,这20对任意选择的观察正好非常接近地落在一条直线上,是极端不可几的。假如,现在我们用这条直线来进行内插和外推,我们会得到超出观察告诉我们的东西之外的预见,然而,这个分析是可以批判的。总有可能来定义……会被这20项观察所满足的各种数学函数;而这些函数中的某些会相当大地偏离直线。对这些函数中的每一个,我们都可以说,除非它代表真的定律。这20项观察正好落在这条曲线上,是极端不可几的。因此,函数,更确切地说,函数类,由于它的数学简单性,必定是先验地由数学提供给我们的,这毕竟是必不可少的。应该注意,这个函数项不必依赖与应满足的观察数一样多的参数”。weyl关于“函数类,由于它的数学简单性,必定是先验地由数学提供给我们的”这段话以及他提到的参数的数目,和我的观点(在第43节中展开)是一致的。但是,weyl没有说“数学的简单性”是什么,而且,最重要的,他没有说较简单的定律,与较复杂的定律相比较,应该具有什么逻辑的或认识论的优点。

以上引证的几段话是很重要的,因为它们和我们现在的目的有关,这目的是分析简单性的认识论概念。因为这个概念尚未精确地加以确定。所以有可能摈弃任何想通过下述办法使这个概念精确化的尝试(比如我的尝试)而说:认识论家感兴趣的这个简单性概念,实际上是一个完全不同的概念。对于这种反对意见,我可以这样回答:我不赋予“简单性”这个词丝毫重要性。这个术语不是我引进的,我也知道它的缺点。我所要说的只是,如我的引证所表明的,我要澄清的这个简单性概念帮助我们回答的问题,正好就是科学哲学家常常提出的与他们的“简单性问题”相联系的问题。

43.简单性和可证伪度

与简单性概念相联系而产生的认识论问题都可得到解答,只要我们把这个概念等同于可证伪度。这个断言可能遭到反对;所以我首先试图使它在直觉上更易于为人所接受。

我已经说明,具有低维的理论比高维理论更易于证伪。例如,具有一次函数形式的定律比用二次函数表示的定律更易于证伪。但是后者在具有代数函数的数学形式定律中间,仍然属于最可证伪的定律之列的。这一点和schlick对简单性的评论完全一致:“我们当然应该倾向于认为一次函数比二次函数简单,虽然后者无疑地也描述一条很好的定律……”。

我们已经看到,理论的普遍度和精确度和它的可证伪度一起增加。因此我们也许可以把理论的严格度——可以说理论把定律的严格性加于自然的程度——等同于它的可证伪度;这一点表明,可证伪度正是做的schlick和feigl期望简单性概念做的事情。我还可以说,schlick希望在定律和机遇之间作出的区别,也能借可证伪度概念之助弄清楚。关于具有似机遇特征的序列的概率陈述,证明具有无限的维(参看第65节);不是简单的而是复杂的(参看第58节和第59节的后半部分);而且只是在特殊的保证条件下才是可证伪的(第68节)。

可检验度的比较已经在第31到40节里详细地讨论过。那里提供的某些例子和其他细节可以容易地转用到简单性问题上来。这一点特别适用于理论的普遍度,一个比较普遍的陈述能代替许多较不普遍的陈述,并由于这个理由时常被称作为“比较简单”。理论的维的概念可以说是使得weyl的用参量的数目来确定简单性概念的思想精确化了。通过我们在理论的维的形式的减少和内容的减少之间所作出的区别(参看第40节),可以对付对weyl理论的某些可能的反对意见。这些反对意见之一是,轴比和偏心率数值给定的椭圆集虽然它显然不是那么“简单的”,具有和圆集正好一样多的参数。

最重要的是,我们的理论解释了为什么简单性是如此高度的合乎需要。为了理解这一点,我们不需要假定“思维经济原理”或者任何这类原理。假如知识是我们的目的,简单的陈述就比不那么简单的陈述得到更高的评价,因为它们告诉我们更多东西;因为它们的经验内容更多,因为它们更可检验。

44.几何形状和函数形式

我们关于简单性概念的观点使我们能够解决了一些矛盾,直到现在这些矛盾曾使得这个概念是否有任何用处成为疑问。

很少人会认为,比方说对数曲线的几何形状是特别简单的;但是一个由对数函数表示的定律常常被认为是简单的定律。同样地,一个正弦函数通常被说成是简单的,纵然正弦曲线的几何形状也许不是很简单的。

假如我们记住在参数数目和可证伪度之间的联系。假如我们又在维的形式减少和内容减少之间加以区别,像这样的困难可以得到解决。(找们也必须记住对于坐标系统的变换的不变性的作用。)如果我们说到一条曲线的几何形式或形状,那么我们所要求的是,对于所有归属位移群的变换的不变性,我们还可以要求对相似变换的不变性;因为我们并没有想把几何图形或形状和一定的位置联结起来。因此,如果我们把一条单参数对数曲线(y=logax)的形状看作置于一个平面的任何地方,那么它就有五个参数(假如我们允许相似变换)。因此它就完全不是一个特别简单的曲线。另一方面,如果用一条对数曲线来表示一个理论或定律。那么描述过的那种坐标变换是无关的。在这种情况下,进行旋转、平移或相似变换,都是没有意义的。因为一条对数曲线通常是一种坐标不能互变的图形表示(例如,x轴可以表示大气压力,y轴表示海拔高度)。由于这个理由,相似变换在这里同样没有任何意义。类似的考虑适用于沿着一根特殊的轴,例如时间轴的正弦振荡;还有许多其他情况都是如此。

45.euclid几何学的简单性

在相对论的大部分讨论中起着主要作用的问题之一是,euclid几何学的简单性。从未有人怀疑过,euclid几何学本身是比任何有一定曲率的非euclid几何学更简单些——更不要说具有随地方而变化的曲率的非euclid几何学了。

乍一看来,这里涉及的这种简单性似乎和可证伪性很少关系。但是,如果讨论中的陈述被表述为经验的假说,那么我们发现,在这种情况下这两个概念,简单性和可证伪性,也是重合的。

让我们考虑什么实验可以帮助我们检验这样的假说:“在我们的世界里,我们必须运用具有某一曲率半径的一种度量几何学”。仅当我们把一定的几何学实体和一定的物理客体——例如直线和光线、点和几根线的交点——等同起来时,检验才是可能的。如果采取了这样的等同(一个相关定义,或者也许是一个直指定义;参看第17节),那么可以看出,euclid光线几何学的正确性假说的可证伪度,比任何断言某种非euclid几何学的正确性的与前者相匹敌的假说的可证伪度高。因为如果我们测量一个光线三角形的角度之和,那么对180度任何显著偏离都将证伪euclid假说。另一方面,具有给定曲率的bolyai-lobatschewski几何学的假说是和任何不超过180度的特定测量相容的。而且,为了伪证这个假说,必须不仅测量角度之和,而且还要测量三角形的(绝对)大小;这意味着,在角度之外,必须再定义一个测量单位,例如面积单位。因此我们看到,证伪需要更多的测量;假说和测量结果的更大的变化相容;因此更难于证伪:它的可证伪度较小。换句话说,eu-clid几何是惟一的具有确定曲率的,在其中可能进行相似变换的度量几何学。因此,euclid几何图形能对比较多的变换保持不变;即它们可能是维数较少的:它们可能是较简单的。

46.约定主义和简单性概念

约定主义者所说的“简单性”并不对应于我所说的“简单性”。任何理论都不是为经验所毫不含糊地决定的,这是约定主义者的中心思想,也是他们的出发点;这一点我同意。他们相信,他们因此必须选择“最简单的”理论。但是,由于约定主义者并不把他们的理论当作可证伪的系统,而是当作约定的规定,显然他们认为“简单性”的意义是和可证伪度不同的。

约定主义者的简单性概念证明确实是部分地美学的和部分地实用的。因此,下列schlick的评论(参看第42节)适用于约定主义者的简单性概念,而不适用于我的:“人们只能用约定来定义简单性概念,这约定必定总是任意的,这一点是确定无疑的”,奇怪的是,约定主义者自己没有看到他们自己的基本概念——简单性概念的约定性质。他们必须是忽略了这一点,这是明显的,因为否则他们本来会注意到,一旦他们已选择了任意约定的方法,他们求助于简单性决不可能使他们避免任意性。

从我的观点看来,假如有人按照约定主义者的实践,坚持某一系统是一个永远确立了的系统,每当它处于危险中时,他就决意引进辅助假说去挽救它,那么必须说这个系统是最高度复杂的。因为,这样保护起来的系统的可证伪度等于零。这样我们就被我们的简单性概念引回到第20节的方法论规则;特别是也引回到限制我们过度使用特设性假说和辅助假说的规则或原理:使用假说的节约原理。

追记(1972)

在这一章里,我试图表明简单度能够和可检验度等同到什么程度。没有什么东西依赖于“简单性”这个词:我从不就词进行争论,我也不设法揭示简单性的本质。我所试图说明的只是这样:

有些大科学家和大哲学家已经论述了简单性和它对科学的价值。我认为,假如我们假定,当说到简单性时,他们有时在心里想的是可检验性,就能够更好地理解其中一些论述。这一点甚至说明了poincare的某些例子,虽然这些例子和他的观点是冲突的。

现在我应该进一步强调两点:(1)我们能在可检验性方面比较理论,仅当在这些理论应该解决的问题中,至少有一些是重合的。(2)不能用这种方法比较特设性假说。

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